Chương 2: Đếm các phần tử

Nội dung Nguyên tắc đếm cơ bản và ứng dụng Quy tắc cộng và nhân Nguyên lý chuồng chim bồ câu Bài toán đếm các phần tử chỉ được dùng 1 lần: hoán vị, tổ hợp, hằng đẳng thức Pascal, định lý nhị thức Bài toán đếm các phần tử được dùng lại nhiều lần: hoán vị lặp, tổ hợp lặp Hệ thức truy hồi

Nguyên lý đếm cơ bản Hai nguyên tắc cơ bản: Quy tắc cộng Quy tắc nhân Quy tắc cộng (dạng 1): giả sử có hai công việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2 cách và nếu hai việc này không thể làm đồng thời , khi đó sẽ có n1+n2 cách làm một trong hai việc đó.

Ví dụ quy tắc cộng Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ 1 trong 3 danh sách tương ứng có 23, 15 và 19 bài. Có bao nhiêu cách chọn? Có 23 cách chọn bài từ danh sách thứ nhất Có 15 “ hai Có 19 “ ba  Có 23+15+19 cách chọn

Quy tắc cộng (dạng tập hợp) Nếu A1, A2, …, Am là các tập rời nhau, khi đó số phần tử của hợp các tập này bằng tổng số các phần tử của các tập thành phần. |A1  A2  …  Am| = |A1| + |A2| + …+ |Am|

Nguyên lý đếm cơ bản Quy tắc nhân: giả sử 1 nhiệm vụ nào đó được tách thành 2 việc. Việc thứ nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2 cách sau khi việc thứ nhất đã được làm, khi đó sẽ có n1x n2 cách thực hiện nhiệm vụ này

Ví dụ quy tắc nhân Ví dụ 1: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7? Mỗi một bít có 2 giá trị hoặc 0 hoặc 1 Xâu dài 7 bit nên có 2 x 2 x…x 2 = 27 xâu khác nhau Ví dụ 2: Có thể tạo được bao nhiêu hàm số từ 1 tập A có m phần tử vào 1 tập B có n phần tử Với mỗi phần tử thứ i của tập A có n cách chọn ảnh cho nó trong tập B Tập A có m phần tử nên có n x n x .. X n = nm hàm số khác nhau

Ví dụ quy tắc nhân Ví dụ 3: Đếm số hàm đơn ánh: có bao nhiêu hàm đơn ánh xác định trên tập A có m phần tử và nhận giá trị trên tập B có n phần tử? Nếu m >n thì sẽ có ít nhất 2 phần tử của A cùng ảnh  không phải là hàm đơn ánh Nếu m<=n thì có n cách chọn phần tử a1, n-1 cách chọn phần tử a2,.. n-k+1 cách chọn phần tử ak  Theo quy tắc nhân có n(n-1)(n-2)… (n-m+1) hàm đơn ánh từ A vào B

Ví dụ quy tắc nhân Ví dụ 4: đếm số tập con của 1 tập hữu hạn: chứng minh là có 2n tập con của 1 tập S có n phần tử. Theo ví dụ 1, có 2n xâu nhị phân chiều dài n Nếu liệt kê các phần tử của S theo 1 thứ tự nào đó, khi đó mỗi tập con của tập S được xem tương ứng 1-1 với 1 xâu nhị phân có độ dài n. Xâu này được tạo như sau: có giá trị 1 ở vị trí thứ i nếu phần tử thứ I trong tập S thuộc tập con này Ngược lại có giá trị 0  Có 2n tập con

Quy tắc nhân (dạng tập hợp) Nếu A1, A2, …, Am là các tập hữu hạn, khi đó số phần tử của tích Descartes của các tập sẽ là: |A1 x A2 x … x Am| =|A1|.|A2|… |Am|

Bài toán đếm phức tạp Bài toán mật khẩu máy tính: mỗi mật khẩu dài từ 6 đến 8 ký tự, mỗi ký tự là 1 chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu chứa ít nhất 1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu mật khẩu?? Gọi P là tổng số mật khẩu có thể có và P6,P7, P8 tương ứng là số mật khẩu dài 6,7 và 8 ký tự  P = P6 + P7+P8

Bài toán đếm phức tạp Tính P6: tính trực tiếp P6 rất khó. Tính gián tiếp như sau: Số ký tự chữ + số = 26 +10 = 36 Xâu dài 6 ký tự chứa bất kỳ ký tự chữ và số sẽ là 366 Xâu dài 6 ký tự chỉ chứa toàn ký tự chữ là 266 Xâu dài 6 ký tự có chứa ít nhất 1 chữ số là: 366 – 266

Bài toán đếm phức tạp Tương tự cho P7 và P8  P = P6+P7+P8 = 366– 266 +367–267+ 368 –268

Nguyên lý bù trừ Khi 2 công việc có thể được làm đồng thời, không thể dùng quy tắc cộng được vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần.  Nguyên lý bù trừ: cộng số cách làm của mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc

Ví dụ về nguyên lý bù trừ Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8 bit hoặc được bắt đầu bằng bít 1 hoặc kết thúc bằng hai bit 00 Gọi việc 1 là xây dựng xâu dài 8 bit bắt đầu bằng bit 1  Có 27 = 128 cách Gọi việc 2 là xây dựng xâu dài 8 bit kết thúc bằng 2 bit 00  Có 26 = 64 cách

Ví dụ về nguyên lý bù trừ Nếu 2 việc đồng thời thì sẽ tạo ra các xâu nhị phân bắt đầu là 1 và kết thúc là 00. Số cách tạo các xâu này là:  có 25 = 32 cách  Số cách tạo xâu theo yêu cầu là: 128 +64 -32 = 160 cách

Nguyên lý chuồng chim bồ câu (Nguyên lý Dirichlet) Giả sử có 1 đàn chim bồ câu bay vào chuồng. Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì ít nhất trong 1 ngăn sẽ có nhiều hơn 1 chim. Nguyên lý chuồng chim bồ câu: Nếu có k+1 hoặc nhiều hơn đồ vật được đặt vào trong k hộp thì có ít nhất một hộp chứa 2 hay nhiều hơn 2 đồ vật.

Ứng dụng của nguyên lý chuồng chim bồ câu Ví dụ 1: Trong bất kỳ nhóm 27 từ tiếng Anh nào, ít nhất cũng có 2 từ bắt đầu bằng cùng 1 chữ cái, vì chỉ có 26 chữ cái tiếng Anh Ví dụ 2: Bài thi có thang điểm từ 0 đến 100. Một lớp học phải có bao nhiêu sinh viên để có ít nhất 2 sinh viên cùng điểm. Thang điểm có 101 bậc, nên lớp cần có ít nhất 102 sinh viên để luôn có 2 sinh viên có cùng điểm thi

Nguyên lý Dirichlet tổng quát Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp, sẽ tồn tại 1 hộp chứa ít nhất N/k vật. Ví dụ 1: trong 100 người có ít nhất 100/12 = 9 người sinh cùng tháng Ví dụ 2: Cần phải có tối thiểu bao nhiêu sinh viên ghi tên học môn Toán để chắc chắn rằng có ít nhất 6 người đạt cùng điểm thi, nếu điểm thi có 5 bậc  Số sinh viên tối thiểu là N/5 = 6  N = 5.5+1 = 26

Hoán vị (Permutation) Hoán vị của 1 tập các đối tượng khác nhau là 1 cách sắp xếp có thứ tự các đối tượng này Cách tính: nếu 1 tập hợp có n phần tử thì có n! cách hoán vị các phần tử Ví dụ: cho S ={1,2,3} 3,2,1 là 1 cách hoán vị

Hoán vị (Permutation) Chỉnh hợp chập r của n phần tử là 1 cách sắp xếp có thứ tự r phần tử của tập n phần tử Ví dụ: cho S ={1,2,3} 3,2 là 1 chỉnh hợp chập 2 của S

P(n,r) = n(n-1)(n-2)… (n-r+1) Hoán vị Định lý 1: Số chỉnh hợp chập r của tập S có n phần tử là P(n,r) = n(n-1)(n-2)… (n-r+1) = n! (n-r)! Ví dụ: Có bao nhiêu cách chọn 4 cầu thủ khác nhau trong 10 cầu thủ để chơi 4 trận đầu đơn, các trận đấu có thứ tự? Chỉnh hợp chập 4 của 10 phần tử P(10,4) = 10.9.8.7 = 5040

Tổ hợp (Combination) Tổ hợp chập r của 1 tập hợp là cách chọn không có thứ tự r phần tử của tập đã cho Ví dụ: cho S = {1,2,3,4}. Một tổ hợp chập 3 của S là {1,3,4}

Tổ hợp Định lý 2: Số tổ hợp chập r của tập S có n phần tử với 0 ≤r ≤ n là C(n,r)= n! = P(n,r) r!(n-r)! r! C(n,r) còn được gọi là hệ số nhị thức Hệ quả: C(n,r) = C(n,n-r)

Tổ hợp Ví dụ: có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số 10 cầu thủ của đội bóng quần vợt đi thi đấu  Đó chính là tổ hợp C(10,5)= 252

Hệ số nhị thức Hằng đẳng thức Pascal: cho n và k là các số nguyên dương với n k. Khi đó C(n+1,k) = C(n,k-1) +C(n,k) Hằng đẳng thức Pascal là cơ sở để sắp xếp hình học các hệ số nhị thức thành tam giác Khi công 2 hệ số nhị thức liền kề trong tam giác sẽ nhận được hệ số nhị thức của hàng kế tiếp ở giữa 2 hệ số này.

Tam giác Pascal

Hệ số nhị thức Định lý nhị thức: cho x và y là 2 biến và n là 1 số nguyên dương (x+y)n = Ví dụ: Tìm khai triển của biểu thức (x+y)4 (x+y)4 = C(4,j)x4-jyj = C(4,0)x4y0 + C(4,1)x3y + C(4,2)x2y2 + C(4,3)xy3 + C(4,4)x0y4 = x4 +4x3y+ 6x2y2 + 4xy3 + y4

Hoán vị có lặp Định lý: số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng nr Ví dụ 1:từ bảng chữ cái tiếng Anh, có thể tạo ra bao nhiêu xâu có n ký tự?  Có 26 chữ cái và có thể dùng lại các chữ cái ở mỗi ký tự, do đó có 26n xâu

Tổ hợp có lặp Định lý: số tổ hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng C(n+r-1,r) Ví dụ: có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ 1 két đựng tiền gồm có 7 loại tiền là 1$, 2$, 5$, 10$,20$, 50$ và 100$ Tổ hợp lặp chập 5 của 7 phần tử : C(11,5)=462

Tổ hợp có lặp Ví dụ 2: phương trình x1 + x2 + x3 = 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm? Mỗi nghiệm của phương trình ứng với 1 cách chọn 11 phần tử từ 1 tập có 3 loại, sao cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại 3 được chọn. Vì vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chặp 11 từ tập 3 phần tử C(3+11-1,11) = C(13,11) = C(13,2) =

Hệ thức truy hồi Một số bài toán dạng đếm có thể giải bằng: Kỹ thuật đếm Tìm mối quan hệ truy hồi giữa các số hạng của dãy. Hệ thức truy hồi đối với dãy số {an} là công thức biểu diễn an qua 1 hay nhiều số hạng đi trước của dãy a1, a2,… an-1 với mọi n nguyên và n>= no với no là nguyên không âm. Dãy số được gọi là nghiệm hay lời giải của hệ thức truy hồi nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này.

Ví dụ Cho {an} là dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi an = an-1 – an-2 với n = 2,3,4,… và giả sử a0 =3 và a1 = 5. Tìm a2 và a3 a2 = a1- ao = 5-3 = 2 a3 = a2 – a1= 2 – 5 = -3

Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi Bài toán lãi kép: giả sử 1 người gửi tiền vào ngân hàng 10000$, với lãi suất kép là 11% mỗi năm. Sau 30 năm, anh ta sẽ có bao nhiêu tiền? Gọi Pn là tổng số tiền có được sau n năm. Dãy {Pn} thỏa mãn hệ thức truy hồi sau: Pn = Pn-1 + 0.11 Pn-1 = 1.11 Pn-1 Với Po = 10000

Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi Dùng phương pháp lặp để tìm Pn P1 = 1.11Po P2 = 1.11P1 = (1.11)2Po … Pn= (1.11)nPo Sau 30 năm (n=30) anh ta sẽ có số tiền là P30 = (1.11)30 Po = 228922,97$

Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi Bài toán tháp Hà Nội Dịch chuyển 64 chiếc đĩa vàng từ cọc 1 sang cọc 3 theo nguyên tắc:Mỗi lần chỉ được chuyển 1 đĩa, một đĩa có thể được di chuyển từ cọc này sang một cọc khác bất kỳ nhưng không được đĩa lớn nằm chồng lên đĩa nhỏ hơn

Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi Để chuyển n đĩa từ cọc 1 sang cọc 3, ta cần: Chuyển n-1 đĩa nằm trên sang cọc trung gian 2. Gọi số lần chuyển là Hn-1. Chuyển đĩa n sang cọc 3. Số lần chuyển là 1 Chuyển n-1 đĩa từ cọc 2 sang cọc 3. Số lần chuyển sẽ là Hn-1 Hệ thức truy hồi để chuyển n đĩa là Hn =2Hn-1 +1

Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi Dùng phương pháp lặp để giải hệ thức truy hồi: Hn =2Hn-1 +1 = 2(2Hn-2 +1) +1 = 22Hn-2 +2 +1 = 22(2Hn-3 +1 ) +1 = 23 Hn-3 +22+2+1 ….. = 2n-1H1 + 2n-2 +…+ 2 +1 = 2n -1 Nếu n =64, và mất 1 giây cho 1 lần chuyển thì sau 264 -1 giây (500 tỷ năm) mới chuyển xong

Hệ thức truy hồi tuyến tính Một hệ thức truy hồi thuần nhất bậc k với các hệ số hằng số có dạng: an = c1an-1 + c2an-2 +..+ ckan-k Trong đó c1, c2, … ck là các số thực và ck  0 Ví dụ: Pn = 1.11Pn-1 : hệ thức truy hồi thuần nhất bậc 1 an = an-5 : hệ thức truy hồi thuần nhất bậc 5 An = (an-1)2 : không tuyến tính Hn = Hn-1 +1 : không thuần nhất

Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số k Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất là tìm nghiệm an dưới dạng an = rn với r là hằng số r là nghiệm của phương trình đặc trưng sau: rk – c1rk-1 – c2rk-2 - … - ck-1r – ck = 0

Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 2 Định lý 1: cho c1, c2 là 2 số thực. Giả sử r2 –c1r – c2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt r1 và r2. Khi đó dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an= c1 an-1 + c2 an-2 nếu và chỉ nếu an = 1 r1n + 2 r2n với n = 1,2,.. Trong đó 1 , 2 là các hằng số

Ví dụ giải hệ thức truy hồi bậc 2 Tìm nghiệm của hệ thức an = an-1 + 2an-2 Với a0=2, a1= 7 Phương trình đặc trưng r2 – r – 2= 0 có nghiệm là r= 2 và r = -1  an = 1 2n + 2(-1)n  1(r1)n+2(r2)n  a0 = 1 + 2 = 2  a1 = 12 + 2(-1)  1 = 3, 2= -1 an = 3.2n – (-1)n

Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc 2 Định lý 2: Cho c1 và c2 là 2 số thực c2  0. Giả sử r2 –c1r – c2 = 0 có 1 nghiệm r0. Dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi an= c1 an-1 + c2 an-2 nếu và chỉ nếu an = 1 r0n + 2nr0n với n = 0,1,2,.. Trong đó 1, 2 là các hằng số

Ví dụ giải hệ thức truy hồi bậc 2 Tìm nghiệm của an = 6an-1 -9an-2 Với a0 = 1 và a1 = 6  Phương trình đặc trưng r2 – 6r + 9 =0 có nghiệm kép r = 3  an = 1 3n + 2n3n  a0 = 1 = 1  a1 = 13 + 23 = 6  1 = 1, 2= 1 an = 3n + n3n

Nguyên lý bù trừ Có bao nhiêu phần tử trong hợp của 2 tập hợp hữu hạn phần tử? |AB| = |A| + |B| - |AB| Ví dụ 1: Một lớp có 25 sinh viên giỏi tin, 13 sinh viên giỏi toán và 8 sinh viên giỏi cả 2 môn. Hỏi lớp có bao nhiêu sinh viên nếu mỗi sinh viên hoặc giỏi toán, hoặc giỏi tin hoặc giỏi cả hai môn.

Nguyên lý bù trừ Gọi A là tập các SV giỏi tin  |A| = 25 Gọi B là tập các SV giỏi toán |B| = 13  A  B là tập các sinh viên giỏi cả 2 môn |A  B| = 8 Số sinh viên của lớp là |A| + |B| - |AB|= 25 + 13 -8 =30

Nguyên lý bù trừ Tính số phần tử của hợp 3 tập hợp A, B, C

|AB  C| = |A| + |B| +|C|-|AB|- |AC|-|BC|+|AB  C| Nguyên lý bù trừ Số phần tử của hợp 2 tập hợp A,B và C sẽ là: |AB  C| = |A| + |B| +|C|-|AB|- |AC|-|BC|+|AB  C|

Nguyên lý bù trừ Định lý: Cho A1, A2, … An là các tập hữu hạn. Khi đó:

Nguyên lý bù trừ Ví dụ: có 1232 sinh viên học tiếng Anh, 879 sinh viên học tiếng Pháp và 114 sinh viên học tiếng Nga. Có 103 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 23 học tiếng Anh và tiếng Nga, 14 học tiếng Pháp và tiếng Nga. Nếu tất cả 2092 sinh viên đều theo học ít nhất 1 ngoại ngữ, thì có bao nhiêu sinh viên học cả 3 thứ tiếng?

|SF  R| = |S| + |F| +|R|-|SF|- |SR|-|FR|+|SFR| Nguyên lý bù trừ Gọi S là tập các SV học tiếng Anh Gọi F là tập các SV học tiếng Pháp Gọi R là tập các SV học tiếng Nga |S| = 1232, |F| = 879, |R| = 114 |S F|= 103, |S R|=23, |F R|= 14 |S F R| = 2092 Theo nguyên lý bù trừ: |SF  R| = |S| + |F| +|R|-|SF|- |SR|-|FR|+|SFR|  |SFR| = 7