Automata hữu hạn & Biểu thức chính quy Chương 3: Nội dung: Khái niệm DFA & NFA Sự tương đương giữa DFA & NFA Biểu thức chính quy Các tính chất của tập chính quy

Phân loại FA DFA FA NFA Biểu thức chính quy Deterministic (Finite Automata) DFA Deterministic Finite Automata NFA Nondeterministic Biểu thức chính quy

Automata hữu hạn đơn định (DFA) Ví dụ: Input Bộ điều khiển 1 Start 1 a b c d q1 q0 q3 q2 Trạng thái bắt đầu Trạng thái kết thúc x Phép chuyển trên nhãn x Q : tập hữu hạn các trạng thái (p, q…) Σ : bộ chữ cái nhập (a, b … ; w, x, y …) δ : hàm chuyển, ánh xạ: Q x Σ → Q q0  Q : trạng thái bắt đầu. F  Q : tập các trạng thái kết thúc. M=(Q, Σ, δ, q0, F)

Mở rộng hàm chuyển trạng thái δ(q, ) = q δ(q, wa) = δ( δ(q,w), a) với  w, a Ngôn ngữ được chấp nhận: L(M) = { x | δ( q0, x )  F } Ngôn ngữ chính quy Ví dụ: chuỗi nhập w=110101 δ(q0, 1) = q1 δ(q0, 11) = δ(q1, 1) = q0 δ(q0, 110) = δ(q1, 10) = δ(q0, 0) = q2 δ(q0, 1101) = δ(q1, 101) = δ(q0, 01) = δ(q2, 1) = q3 δ(q0, 11010) = … = δ(q3, 0) = q1 δ(q0, 110101) = … = δ(q1, 1) = q0  F

Giải thuật hình thức Mục đích: kiểm tra một chuỗi nhập x có thuộc ngôn ngữ L(M) được chấp nhận bởi automata M. Input: chuỗi nhập x$ Output: câu trả lời ‘YES’ hoặc ‘NO’ Giải thuật: q := q0 ; c := nextchar ; {c là ký hiệu nhập được đọc tiếp theo} While c <> $ do begin q := δ(q, c); c := nextchar ; end If (q in F) then write("YES") else write("NO");

Automata hữu hạn không đơn định (NFA) Ví dụ: cho automata M (hình vẽ) và xét chuỗi nhập 01001 Start 1 q0 q3 q4 q1 q2 1 q0 q3 q1 q4 Nhận xét: Ứng với một trạng thái và một ký tự nhập, có thể có không, một hoặc nhiều phép chuyển trạng thái. DFA là một trường hợp đặc biệt của NFA

Định nghĩa NFA Q : tập hữu hạn các trạng thái. Σ : bộ chữ cái nhập. δ : hàm chuyển ánh xạ Q x Σ → 2Q q0  Q : trạng thái bắt đầu. F  Q : tập các trạng thái kết thúc. M=(Q, Σ, δ, q0, F) Chú ý: khái niệm δ(q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p sao cho có phép chuyển từ trạng thái q trên nhãn a. Hàm chuyển trạng thái mở rộng: δ(q, ) = {q} δ(q, wa) = { p | có một trạng thái r trong δ(q, w) mà pδ(r, a) } = δ( δ(q,w), a) δ(P, w) = qP δ(q, w) với P  Q

Ví dụ về NFA Ví dụ: xét chuỗi nhập w=01001 và NFA đã cho ở trên M( {q0, q1, q2, q3, q4}, {0, 1}, δ, q0, {q2, q4} ) δ(q0, 0) = {q0,q3} δ(q0, 01) = δ( δ(q0, 0), 1) = δ({q0, q3},1) = δ(q0, 1)  δ(q3, 1) = {q0, q1} δ(q0, 010) = {q0, q3} δ(q0, 0100) = {q0, q3, q4} δ(q0, 01001) = {q0, q1, q4} {q4} q4 Ø q3 {q2} q2 q1 {q0,q1} {q0,q3} q0 1 Trạng thái Input δ Do q4  F nên w=01001  L(M)

Sự tương đương giữa DFA & NFA Định lý 1: Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn tại một DFA chấp nhận L. Giả sử NFA M={Q, Σ, δ, q0, F} chấp nhận L Ta xây dựng DFA M’={Q’, Σ, δ’, q0’, F’} chấp nhận L Q’ = 2Q . Một phần tử trong Q’ được ký hiệu là [q0, q1, …, qi] với q0, q1, …, qi  Q q0’ = [q0] F’ là tập hợp các trạng thái của Q’ có chứa ít nhất một trạng thái kết thúc trong tập F của M Hàm chuyển δ’([q1, q2,..., qi], a) = [p1, p2,..., pj] nếu và chỉ nếu δ({q1, q2,..., qi }, a) = {p1, p2,..., pj}

Ví dụ về sự tương đương giữa DFA & NFA Ví dụ: NFA M ({q0, q1}, {0, 1}, δ, q0, {q1}) với hàm chuyển δ(q0,0) = {q0, q1}, δ(q0,1) = {q1}, δ(q1,0) = , δ(q1,1) = {q0, q1} Ta sẽ xây dựng DFA tương đương M’ (Q’, {0, 1}, δ’, [q0], F’) Q’ = {, [q0], [q1], [q0, q1]} F’ = {[q1], [q0, q1]} Hàm chuyển δ’ δ’(, 0) = δ’(, 1) =  δ’([q0], 0) = [q0, q1] δ’([q0], 1) = [q1] δ’([q1], 0) =  δ’([q1], 1) = [q0, q1] δ’([q0, q1], 0) = [q0, q1] δ’([q0, q1], 1) = [q0, q1]

NFA với - dịch chuyển (NFA) Ví dụ: xây dựng NFA chấp nhận chuỗi 0*1*2* q0 q1 q2 0, 1 1 2 Start 1, 2 0, 1, 2 q0 q1 q2  1 2 Start Định nghĩa: NFA M(Q, Σ, δ, q0, F) δ : hàm chuyển ánh xạ Q x (Σ  {}) → 2Q Khái niệm δ(q, a) là tập hợp các trạng thái p sao cho có phép chuyển nhãn a từ q tới p, với a  (Σ  {})

Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA Định nghĩa -CLOSURE: -CLOSURE(q) = { p | có đường đi từ q tới p theo nhãn  } -CLOSURE(P) = qP -CLOSURE(q) Hàm chuyển trạng thái mở rộng: mở rộng δ thành δ* δ* : Q x Σ* → 2Q δ*(q, w) = { p | có đường đi từ q tới p theo nhãn w, trên đường đi có thể chứa cạnh nhãn  } Ta có: δ*(q, ) = -CLOSURE(q) δ*(q,a) = -CLOSURE(δ(δ*(q, ),a)) δ*(q, wa) = -CLOSURE( δ( δ*(q, w), a) ) Cách khác: δ*(q, wa) = -CLOSURE(P) với P = { p | r  δ*(q, w) và p  δ(r, a) } δ*(R, w) = qR δ*(q, w)

Mở rộng hàm chuyển trạng thái cho NFA q0 q1 q2  1 2 Start Ví dụ: Xét chuỗi nhập w = 012 δ*(q0, ) = -CLOSURE(q0) = {q0, q1, q2} δ*(q0, 0) = -CLOSURE(δ(δ*(q0, ), 0)) = -CLOSURE(δ({q0, q1, q2}, 0)) = -CLOSURE(δ(q0, 0)  δ(q1, 0)  δ(q2, 0) ) = -CLOSURE( {q0}     ) = -CLOSURE({q0}) = {q0, q1, q2} δ*(q0, 01) = -CLOSURE(δ(δ*(q0, 0), 1)) = -CLOSURE(δ({q0, q1, q2}, 1)) = -CLOSURE({q1}) = {q1,q2} δ*(q0, 012) = -CLOSURE(δ(δ*(q0, 01), 2)) = -CLOSURE(δ({q1, q2}, 2)) = -CLOSURE({q2}) = {q2} Do q2  F nên w  L(M)

Giải thuật hình thức cho NFA Mục đích: mô phỏng hoạt động của NFA Input: chuỗi nhập x$ Output: câu trả lời ‘YES’ (x được chấp nhận) hoặc ‘NO’ Giải thuật: q := -CLOSURE (q0) ; c := nextchar ; {c là ký hiệu nhập được đọc tiếp theo} While c <> $ do begin q := -CLOSURE (δ(q, c)); c := nextchar ; end If (q in F) then write("YES") else write("NO");

Sự tương đương giữa NFA và NFA Định lý 2: nếu L được chấp nhận bởi một NFA có -dịch chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có -dịch chuyển. Giả sử: NFA M(Q, Σ, δ, q0, F) chấp nhận L Ta xây dựng: NFA M’={Q, Σ, δ’, q0, F’} Với: F’ = F  q0 nếu -CLOSURE(q0) chứa một trạng thái thuộc F. Ngược lại, F’ = F δ’(q, a) = δ*(q, a)

Sự tương đương giữa NFA và NFA q0 q1 q2  1 2 Start Ví dụ: Xây dựng NFA tương đương M’={Q, Σ, δ’, q0, F’} Q = {q0, q1, q2} Σ = {0, 1, 2} Trạng thái bắt đầu: q0 F’ = {q0, q2} Hàm chuyển δ’ {q2}  q2 {q1, q2} q1 {q0, q1, q2} q0 2 1 Trạng thái Inputs δ’ q0 q1 q2 0, 1 1 2 Start 1, 2 0, 1, 2

Xây dựng DFA từ NFA() Ví dụ: xây dựng DFA tương đương với NFA sau: M = (Q={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, Σ={a, b}, δ, 0, F={10}) a b  2 3 6 7 8 9 10 1 4 5 Start Ta xây dựng DFA M’= (Q’, Σ, δ’, q0’, F’) tương đương M Trạng thái bắt đầu: q0’ ↔ -CLOSURE(q0) F’ = { p | trong ký hiệu của p có chứa ít nhất một trạng thái của F } Xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật xây dựng hàm chuyển δ’ T := -CLOSURE (q0) ; T chưa được đánh dấu ; Thêm T vào tập các trạng thái Q’ của DFA ; While Có một trạng thái T của DFA chưa được đánh dấu do Begin Đánh dấu T; { xét trạng thái T} For Với mỗi ký hiệu nhập a do begin U:= -closure((T, a)) If U không có trong tập trạng thái Q’ của DFA then Thêm U vào tập các trạng thái Q’ của DFA ; Trạng thái U chưa được đánh dấu; [T, a] := U;{[T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA} end; End;

Xây dựng DFA từ NFA() -CLOSURE(q0) = {0, 1, 2, 4, 7} → q0’ = [0, 1, 2, 4, 7] = A -CLOSURE(δ(A, a)) = -CLOSURE({3, 8}) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} → B -CLOSURE(δ(A, b)) = -CLOSURE({5}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7} → C -CLOSURE(δ(B, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B -CLOSURE(δ(B, b)) = -CLOSURE({5, 9}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9} → D -CLOSURE(δ(C, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B -CLOSURE(δ(C, b)) = -CLOSURE({5}) = → C -CLOSURE(δ(D, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B -CLOSURE(δ(D, b)) = -CLOSURE({5,10}) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 10} → E -CLOSURE(δ(E, a)) = -CLOSURE({3, 8}) → B -CLOSURE(δ(E, b)) = -CLOSURE({5}) = → C

Xây dựng DFA từ NFA() Bảng hàm chuyển E D A b a Ký hiệu nhập Trạng thái E A a b B D C Start Ký hiệu bắt đầu: q0’ = A (↔ -CLOSURE(q0) ) Tập trạng thái kết thúc: F’ = {E} (vì trong E có chứa trạng thái 10  F)

Biểu thức chính quy (RE) Vài ví dụ: 00 : là biểu thức chính quy biểu diễn tập {00} (0+1)* : tập hợp tất cả các chuỗi số 0 và số 1, kể cả chuỗi rỗng = {, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 010, 011, 0010 ... } (0+1)*011 : ký hiệu cho tất cả các chuỗi 0, 1 tận cùng bởi 011 = {011, 0011, 1011, 00011, 11011, ... } (0+1)*00(0+1)* : tập hợp tất cả các chuỗi 0,1 có ít nhất hai số 0 liên tiếp = {00, 000, 100, 0000, 0001, 1000, 1001, 011001, ... } (0+ )(1+10)* : tất cả các chuỗi không có hai số 0 liên tiếp = {, 0, 01, 010, 1, 10, 01010, 0111, ... } 0*1*2* : {, 0, 1, 2, 01, 02, 12, 012, 0012, 0112, ... } 00*11*22* : tất cả các chuỗi trong tập 0*1*2* với ít nhất một ký hiệu 0, 1 và 2 ↔ viết gọn thành 0+1+2+

Biểu thức chính quy (RE) Định nghĩa: cho Σ là một bộ chữ cái. BTCQ trên Σ là các tập hợp mà chúng mô tả được định nghĩa đệ quy như sau:  là BTCQ ký hiệu cho tập rỗng  là BTCQ ký hiệu cho tập {} a  Σ, a là BTCQ ký hiệu cho tập {a} Nếu r và s là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R và S thì (r + s), (rs) và ( r*) là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R  S, RS và R* tương ứng Thứ tự ưu tiên: Phép bao đóng > Phép nối kết > Phép hợp Ví dụ: Biểu thức ((0(1*)) + 1) có thể viết là 01*+1

Tính chất đại số của BTCQ Phép hợp: r +  =  + r = r r + r = r r + s = s + r (r + s) + t = r + (s + t) = r + s + t Phép nối kết: r = r = r r = r =  (r + s) t = rt + st r (s + t) = rs + rt Phép bao đóng: * =  * =  r*r* = r* (r*)* = r* r* =  + r + r2 + … + rk + … r* =  + r+ ( + r)+ = ( + r)* = r* r*r = r r* = r+ Tổng hợp: (r* + s*)* = (r*s*)* = (r + s)* (rs)*r = r(sr)* (r*s)* r* = (r + s)*

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ Định lý 3: nếu r là BTCQ thì tồn tại một NFA với -dịch chuyển chấp nhận L(r) Chứng minh: quy nạp theo số phép toán Xét r không có phép toán nào Start q0 qf r =  r =  r = a a Các NFA cho các kết hợp đơn Xét r có i phép toán: r = r1 + r2, r = r1r2 hoặc r = r1* Xây dựng NFA M1 = (Q1, Σ1, δ1, q1, {f1}) và M2 = (Q2, Σ2, δ2, q2, {f2}) sao cho L(M1) = L(r1) và L(M2) = L(r2) Xây dựng NFA M như sau:

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ M1 q2 f2 M2 q0 Start  r = r1 + r2 q2 f2 M2 q1 f1 M1 Start  r = r1r2  q1 f1 M1 f0 q0 Start r = r1*

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ Ví dụ: xây dựng NFA chấp nhận BTCQ r = 01* + 1 r có dạng: r = r1 + r2 với r1 = 01* và r2 = 1 r1 có dạng r1 = r3r4 với r3 = 0 và r4 = 1* r4 có dạng r4 = r5* với r5 = 1  q5 q6 1 Start q7 q8 r4 = r5* = 1* q1 q2 1 Start r2  q7 q5 1 Start q3 q8 q4 q6 r1 = r3r4 = 01* q3 q4 Start r3 q5 q6 1 Start r5  q4 q7 Start q9 q10 q3 q5 q1 q2 q6 q8 1 r = r1 + r2 = 01* + 1

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ Định lý 4: Nếu L được chấp nhận bởi một DFA, thì L được ký hiệu bởi một BTCQ Chứng minh: L được chấp nhận bởi DFA M({q1, q2,..., qn}, Σ, δ, q1, F) Đặt Rkij = {x | δ(qi, x) = qj và nếu δ(qi, y) = ql (y  x) thì l ≤ k} (hay Rkij là tập hợp tất cả các chuỗi làm cho automata đi từ trạng thái i đến trạng thái j mà không đi ngang qua trạng thái nào lớn hơn k) Định nghĩa đệ quy của Rkij : Rkij = Rk-1ik(Rk-1kk)*Rk-1kj  Rk-1ij R0ij = {a | δ(qi, a) = qj}, nếu i ≠ j {a | δ(qi, a) = qj}  {}, nếu i = j

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ Ta sẽ chứng minh (quy nạp theo k) bổ đề sau: với mọi Rkij đều tồn tại một biểu thức chính quy ký hiệu cho Rkij . k = 0: R0ij là tập hữu hạn các chuỗi 1 ký hiệu hoặc  Giả sử ta có bổ đề trên đúng với k-1, tức là tồn tại BTCQ rk-1lm sao cho L(rk-1lm) = Rk-1lm Vậy đối với Rkij ta có thể chọn BTCQ rkij = (rk-1ik)(rk-1kk)*(rk-1kj) + rk-1ij → bổ đề đã được chứng minh Ta có nhận xét: L(M) = qj F Rn1j Vậy L có thể được ký hiệu bằng BTCQ r = rn1j1 + rn1j2 + … + rn1jp với F = {qj1, qj2, …, qjp}

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ Ví dụ: viết BTCQ cho DFA 1 q1 q2 q3 0, 1 Start Ta cần viết biểu thức: r = r312 + r313 Ta có: r312 = r213(r233)*r232 + r212 r313 = r213(r233)*r233 + r213

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ  + (0 + 1)0*1  rk33 (0 + 1)(00)* 0 + 1 rk32 (0 + 1)(00)*0  rk31 0*1 1 + 01 1 rk23 (00)*  + 00 rk22 0(00)* rk21 rk13 rk12 rk11 k = 2 k = 1 k = 0 Thay vào và rút gọn, ta có: r = 0*1((0 + 1)0*1)* ( + (0 + 1)(00)*) + 0(00)*

Mối liên hệ giữa FA và BTCQ Sơ đồ liên hệ: DFA NFA NFA RE Định lý 4 Định lý 2 Định lý 1 Định lý 3